Jawab:
- x = 1,
- x = –2/3,
- x = √2, dan
- x = –√2.
Pembahasan
Persamaan yang ingin dicari akar-akar realnya adalah:
3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = 0
Koefisien variabel dengan pangkat tertinggi (x⁴) adalah 3. Sedangkan konstantanya adalah 4.
Oleh karena itu, berdasarkan teorema akar rasional, kita dapat mencari salah satu akar yang merupakan salah satu dari:
± (faktor-faktor dari 4) / (faktor-faktor dari 3)
- Faktor dari 4 adalah 1, 2, dan 4.
- Faktor dari 3 adalah 1 dan 3.
Kita coba +1/1 = 1.
3(1⁴) – 1³ – 8(1²) + 2(1) + 4
= 3 – 1 – 8 + 2 + 4
= 2 – 8 + 6
= –6 + 6
= 0
⇒ x = 1 adalah salah satu akar 3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = 0
⇒ Salah satu faktor dari 3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 adalah (x – 1).
3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = (x – 1)(3x³ + 2x² – 6x – 4)
⇔ (x – 1)(3x³ + 2x² – 6x – 4) = 0
Selanjutnya, faktorkan 3x³ + 2x² – 6x – 4 = 0.
3x³ + 2x² – 6x – 4 = 0
⇔ 3x³ – 6x + 2x² – 4 = 0
⇔ 3x(x² – 2) + 2(x² – 2) = 0
⇔ (3x + 2)(x² – 2) = 0
⇔ 3x + 2 = 0 ⇒ x = –2/3
Kita telah memperoleh akar real kedua, yaitu –2/3.
Lalu, (x² – 2) = 0.
x² = 2
⇔ x = ±√2
⇔ x = √2 atau x = –√2
√2 adalah bilangan irrasional. Bilangan irrasional termasuk dalam himpunan bilangan real. Oleh karena itu, ±√2 ∈ ℝ, sehingga akar real ketiga dan keempat persamaan tersebut adaah √2 dan –√2.
KESIMPULAN
∴ Akar-akar real dari persamaan 3x⁴ – x³ – 8x² + 2x + 4 = 0 adalah:
- x = 1,
- x = –2/3,
- x = √2, dan
- x = –√2.
